第十屆華杯賽總決賽試題及解答
一、填空(共3題，每題10分)
1.1000米賽跑，已知甲到達終點時，乙離終點50米;乙到達終點時，丙離終點100米。那么甲到達終點時，丙離終點___米。
2.三個相鄰奇數(shù)的積為一個五位數(shù)2***3，這三個奇數(shù)中最小的是___。
3.將兩個不同的自然數(shù)中較大的數(shù)換成這兩個數(shù)的差，稱為一次操作，如對18和42可連續(xù)進行這樣的操作。則有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6，直到兩數(shù)相同為止。試給出和最小的兩個五位數(shù)，按照以上操作，最后得到的相同的數(shù)是15，這兩個五位數(shù)是___與___。
二、解答題(共3題，每題10分，寫出簡要解答過程)
4.右圖中，ABCD是邊長為1的正方形，A，E，F(xiàn)，G，H分別是四條邊AB，BC，CD，DA的中點，計算圖中紅色八邊形的面積。
5.若干名小朋友購買單價為3元和5元的兩種商品，每人至少買一件，但每人購買的商品的總金額不得超過15元。小民說：小朋友中一定至少有三人購買的兩種商品的數(shù)量完全相同。問：至少有多少名小朋友?
6.A是山腳，B是山頂，C是山坡上的一點，。甲、乙同時從山腳出發(fā)，到達山頂，再返回山腳，如此往返運動。甲、乙速度之比為6∶5，并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍.出發(fā)一段時間后，甲第一次在山頂上看見乙在AC段向上爬;又經(jīng)過一段時間后，甲第二次在山頂上看見乙在AC段向上爬。問：當甲第二次在山頂上看到乙在AC段上爬時(包括此時)，甲到過山頂幾次?
參考答案
一、填空
1.145 2.27 3.10005與10020
二、解答題
4.紅色八邊形的面積是1/6
5.至少有25名小朋友6.甲到過山頂9次
1.【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，
所以甲跑1000米時，丙跑了950×900/1000=855(米)，丙距終點1000-855=145(米).
2.【解】設中間數(shù)為n則(n-2)×n×(n+2)=2***3，又知(n-2)×(n+2)<，而=19683，所以，n應大于27，而7×9×1=63，故最小數(shù)應為27，27×29×31=24273，符合題意，并且是唯一解.
3.【解】能被15整除的最小5位數(shù)是10005，10005+15=10020，按照題目所給的操作，只需將這兩個五位數(shù)取為10005和10020，則經(jīng)過1次操作，較小的數(shù)變?yōu)?5，較大的數(shù)變?yōu)?0005，再經(jīng)若干此次操作，較小的數(shù)一直不變，較大的數(shù)每次減少15，直到較大的數(shù)變?yōu)?0，再經(jīng)一次操作兩個數(shù)都變成了15.
4.【解】如圖，易知藍邊正方形面積為，△ABD面積為，△BCD面積為，
所以△ABC面積為-=，可證AE∶EB=1∶4，
黃色三角形面積為△ABC的，等于，由此可得，所求八邊形的面積是：1/6.
至此，我們對各部分的面積都已計算出來，如下圖所示.
【又解】設O為正方形中心(對角線交點)，連接OE、OF，分別與AF、BG交于M、N，設AF與EC的交點為P，連接OP，△MOF的面積為正方形面積的，N為OF中點，△OPN面積等于△FPN面積，又△OPN面積與△OPM面積相等，所以△OPN面積為△MOF面積的'，為正方形面積的，八邊形面積等于△OPM面積的8倍，為正方形面積的1/6.
5.【解】不超過15元可購買商品的方法有：
共12種方法，所以如果有25人，必然會有3人購買的商品完全相同.
答：至少有25名小朋友.
6.【解】不妨設想為在一條直線上的運動，將上山的路程看作下山路程的1.5倍，并設AC=1，則CB=2，下山路程=2，將上山、下山一個全程看作5，重復在一條直線上進行.如下圖：
B點表示山頂，甲到達山頂所走的路程可以表示為：5×n-2(其中n為整數(shù)，表示到達山頂?shù)拇螖?shù))，此時乙所走的路程為(5×n-2)×，乙處于的位置為(5×n-2)×÷5=(5×n-2)÷6的余數(shù)，設此余數(shù)為k，當0
n123456789
k321054321
即當甲第二次在山頂上看到乙在AC段上爬時(包括此時)，甲到過山頂9次.
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